26.12.2008

Glossar: Temperierte Stimmung

Im Eintrag zur Obertonreihe hatte ich angedeutet, daß man aus dem Erscheinen des Durdreiklangs auf den Obertönen 4-6 nicht auf dessen Naturgegebenheit schließen kann. Ich will das etwas näher ausführen.

Wenn man, ausgehend vom Kontra-C, sieben Oktavschritte nach oben geht, landet man beim fünf-gestrichenen C. Eben dort kommt man auch nach zwölf Quintschritten an. Problemlos funktioniert dies jedoch nur in der Notenschrift oder auf einem Klavier.

Oktaven haben ein Frequenzverhältnis von 1:2; wenn das »Kontra-C« 60Hz hat, liegt das »C« bei 120Hz. Die Rechnung lautet: 60 * 27 – man landet nach sieben Oktaven bei 7680Hz. - Die Frequenzen zwischen Quinten liegen im Verhältnis 2:3; wenn man wieder bei 60Hz startet, ist das nächste G bei 90Hz, das D bei 135Hz, das A bei 202,5Hz – und man merkt jetzt schon, daß man ganz oben keineswegs bei einer gradzahligen Zahl ankommt, es ergeben sich 7784,8Hz (60 * (3 / 2)12).

Die Differenz zwischen diesen beiden Werten nennt man das pythagoreische Komma, und sie hat weitreichende Konsequenzen für das System der Musik des Abendlands, das auf einer Zwölfteilung der Oktave basiert. Man muß sich, wenn man ein Tasteninstrument stimmen will, entscheiden:

  • Entweder, die Quinten in bestimmten Tonarten sind rein und wirklich im Verhältnis von 2:3 gestimmt. In diesem Fall sind andere Tonarten aber unbenutzbar, weil stark verstimmt.
  • Oder man teilt die Oktave in zwölf Töne mit jeweils gleichem Abstand. Dann kann man sämtliche Tonarten verwenden, hat es aber nicht mehr mit reinen Quinten zu tun.

Wenn man alte Kirchenorgeln hört, die anfällige Restaurierungen in ihrer originalen Stimmung belassen haben, kann man noch heute eine Reihe von Experimenten finden, mit denen man einst einen Kompromiß zwischen reiner Stimmung und der Verwendung möglichst vieler Tonarten gesucht hat. Erst mit der Durchsetzung der zweiten Alternative, der temperierten Stimmung, wurde die Musik Bachs und seiner Nachfolger möglich, die wesentlich darauf beruht, die Chromatik der Halbtöne in vollem Umfang zu nutzen. Tatsächlich ist es nicht zuletzt Bach selber zu verdanken, daß die temperierte Stimmung als „wohltemperiert” gilt: sein „Wohltemperierte Klavier” mit ihren 2*12 Inventionen und Fugen in allen zwölf Dur- wie Molltonarten ist Bachs Parteinahme in einem Streit, der erst zu seinen Lebzeiten entschieden wurde.

Man hat es hier mit einem höchst artifiziellen System zu tun, das in die Ebene des Klangs eingreift – die sinnlich erfahrbare Ebene von Musik wird der Verfügung des Verstandes unterworfen; die Ratio übernimmt auf einer Ebene, von der man vermuten würde, daß sie ihm eigentlich unzugänglich ist.

Dabei darf man allerdings nicht vergessen, daß alle Streich- und Blasinstrumente tendenziell immer noch in der Lage sind, nicht-temperierte Akkorde zu spielen – solange kein Tasteninstrument[1] in der Nähe ist, tun sie das auch regelmäßig. Besonders deutlich wird das, wenn tiefe Instrumente mit relativ wenigen Obertönen reine Durakkorde spielen. Ich denke da an diverse Passagen von drei oder vier F-Hörnern bei Wagner und Bruckner, oder an das Ende von Mahlers 6. Sinfonie – wenn dort die tiefen Posaunen nach viel A-Moll noch kurz nach Dur wechseln, schaukelt sich ein Klang auf, der doppelt so laut zu sein scheint wie die Akkorde zuvor.

  1. [1] Oder auch ein Saiteninstrument mit Bünden - aber das ist noch eine eigene Thematik.


Nachtrag: Die Oktave über der Basis von 60Hz hat 120Hz, die (reine) Quinte 90Hz. Für die temperierte Stimmung gilt die Formel:
f(i) = fbase * 2i/12

Dabei ist »fbase« die Basis, und »i« der gesuchte Halbton (1-12). Über 60Hz ergibt der 7.Halbton (die Quinte) dann 89,899 Hz. Das ist eine denkbar kleine Abweichung vom Ideal, von der man meinen könnte, daß man sie nicht hören kann. Man muß aber bedenken, daß die beiden Töne, die in diesem Intervall gemeinsam klingen, ihrerseits Obertöne haben, die gerade bei tiefen Instrumenten in Bereichen liegen, die deutlich hörbar sind - und die Dissonanzen gerade im hohen Frequenzband wirken überaus scharf und unangenehm.


Nachtrag 2: In der Wikipedia findet sich eine Tabelle für die Umrechnung der Abweichung von temperierter und nicht-temperierter Stimmung in Cent-Werte, wie sie bei der Programmierung von Tunings in Synthesizern verwendet werden - wenn man ein Gerät besitzt, das selbst-programmierte Tunings unterstützt, kann man sich für eigene Experimente daran orientieren.

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